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2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,分别以AC和BC为边,作等边三角形△ACD、△BCE,连结AE与BD相交于点O,求∠AOD的大小.

分析 先证明△DCB≌△ACE,再利用“8字型”证明∠AOD=∠ACD=60°即可解决问题.

解答 解:如图

:AE与BD交于点O.
∵△ACD,△BCE都是等边三角形,
∴CD=CA,CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°,
∴∠DCB=∠ACE,
在△DCB和△ACE中,
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CA}\\{∠DCB=∠ACE}\\{CB=CE}\end{array}\right.$,
∴△DCB≌△ACE(SAS),
∴∠CAE=∠CDB,
∵∠CAE+∠AOD+∠2=∠CDB+∠ACD+∠1,
∴∠AOD=∠ACD=60°.

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形,学会利用“8字型”证明角相等,属于中考常考题型.

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

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13.如图所示,△ABC的顶点都在圆上,AB>AC,∠A的平分线AD交圆于D,作DE⊥AB于E,作DF⊥AC于F.求证:BE=CF.

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17.下列说法中正确的有(  )
①过两点有且只有一条直线;
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⑤把一个角分成两个角的射线叫角的平分线;
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7.如图,BM、CN分别是△ABC的高,且BP=AC,CQ=AB,请问AP与AQ有什么样的关系?请说明理由.

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14.如图,在平面直角坐标系中,将点P(2,1)向下平移3个单位长度,再向左平移1个单位长度得到点Q,则点Q的坐标为(  )
A.(3,-2)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(0,-2)

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(3)若把原题中“△BCP和△PAD是两个等边三角形”换成两个正方形(如图2所示),AC与BD的数量和位置关系如何?请说明理由.

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12.如图,在△ABC中,点D是AB边上一点,且AB=AC=CD,则∠1与∠2之间的关系(  )
A.3∠2-2∠1=180°B.2∠2+∠1=180°C.3∠2-∠1=180°D.∠1=2∠2

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