Question

如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是直径，D是

AB

上的点，BD交AC于E，已知AB=5，sin∠CAB=

3

5

．
（1）设CE=m，

DE

BE

=k，试用含m的代数式表示k；
（2）当AD∥OC时，求k的值；
（3）当BE=6DE时，求

CD

的长．
（参考数据：tan6°≈

1

10

，tan7°≈

1

8

，tan8°≈

1

7

，结果保留π）

Answer 1

分析：（1）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，再解Rt△ABC，得出BC=3，AC=4，在△BCE中利用勾股定理得出BE²=m²+9，然后根据相交弦定理得出BE•DE=AE•CE，即可求出k=

m(4-m)

m2+9

；
（2）先由平行线的性质与圆周角定理证明∠OAC=∠EBC，又∠ACB=∠BCE，根据两角对应相等的两三角形相似得出△ABC∽△BEC，由相似三角形对应边成比例列出比例式BC：EC=AC：BC，求出m=

9

4

，进而得到k的值；
（3）先由BE=6DE，即k=

1

6

，得出

m(4-m)

m2+9

=

1

6

，解得m₁=3，m₂=

3

7

．再分两种情况讨论：①当m=3时，易证△CBE是等腰直角三角形，得出∠CBE=45°，由圆周角定理求出∠COD=90°，然后根据弧长公式求出

CD

的长；②当m=

3

7

时，在△CBE中利用正切函数的定义求出∠CBE≈8°，由圆周角定理求出∠COD=16°，然后根据弧长公式求出

CD

的长．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，sin∠CAB=

3

5

，
∴BC=3，AC=4，
又∵BE²=m²+9，BE•DE=AE•CE，
∴k•BE²=m（4-m），即k=

m(4-m)

m2+9

；

（2）∵AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，
∵∠OAC=∠OCA，∠DAC=∠EBC，
∴∠OAC=∠EBC，
又∵∠ACB=∠BCE，
∴△ABC∽△BEC，
∴BC：EC=AC：BC，即3：m=4：3，
解得m=

9

4

，
∴k=

m(4-m)

m2+9

=

9 4 (4- 9 4 )

( 9 4 )2+9

=

7

25

；


（3）∵BE=6DE，即k=

1

6

，
∴

m(4-m)

m2+9

=

1

6

，
解得m₁=3，m₂=

3

7

．
①当m=3时，CE=BC=3，
∴∠CBE=45°，
∴∠COD=2∠CBE=90°，

CD

的长为：

90π× 5 2

180

=

5

4

π；
②当m=

3

7

时，tan∠CBE=

CE

BC

=

3 7

3

=

1

7

，
∴∠CBE≈8°，
∴∠COD=2∠CBE=16°，

CD

的长约为：

16π× 5 2

180

=

2

9

π．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，相交弦定理，平行线的性质，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定难度，利用数形结合及分类讨论的思想是解题的关键．