Question

【题目】如图，在菱形中，，与交于点 ，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点 ，，连接，则下列结论中一定成立的是__________．

①；②与全等的三角形共有5个；③；④由点、、、构成的四边形是菱形

Answer 1

【答案】①④

【解析】

由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG=CD=AB，①正确；

先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，④正确；

由菱形的性质得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS证明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正确；

证出OG是△ABD的中位线，得出OG∥AB，OG=AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S四边形ODGF=S△ABF；③不正确；即可得出结果．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，

∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，

∵CD=DE，

∴AB=DE，

在△ABG和△DEG中，

，

∴△ABG≌△DEG（AAS），

∴AG=DG，

∴OG是△ACD的中位线，

∴OG=CD=AB，①正确；

∵AB∥CE，AB=DE，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∵∠BCD=∠BAD=60°，

∴△ABD、△BCD是等边三角形，

∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，

∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，④正确；

∴AD⊥BE，

由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，

在△ABG和△DCO中，

，

∴△ABG≌△DCO（SAS），

∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；

∵OB=OD，AG=DG，

∴OG是△ABD的中位线，

∴OG∥AB，OG=AB，

∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，

∴△GOD的面积=△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，

∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，

又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，

∴S四边形ODGF=S△ABF；③不正确；

正确的是①④．

故答案为：①④．