Question

已知，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直于AB于点F，交BC于点G，∠A=∠BCP．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若点C在劣弧AD上运动，其条件不变，问应再具备什么条件可使结论BG²=BF•BO成立，（要求画出示意图并说明理由）．

Answer 1

分析：（1）证PC是⊙O的切线，即证∠OCP=90°，而∠OCP=∠BCP+∠OCB=∠A+∠OBC，因为AB为直径，直径所对的圆周角为直角，即可证明．
（2）BG2=BF•BO要成立，RT△BFG和RT△BGO必须相似，而他们已经共用了一角B，所以如果相似，则必有∠BFG=∠BGO=90°，根据垂径定理，G点必在BC中点处．

解答：（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵AB为直径，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠OCP=∠BCP+∠OCB=90°，
即PC是⊙O的切线．

（2）解：添加条件为：G为BC的中点．
连接OG，
∵G为BC的中点，
∴OG⊥BC又FG⊥BO，
∴Rt△BFG∽Rt△BGO，
∴

BG

BO

=

BF

BG

，
即BG²=BF•BO．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定及切线判定的理解及运用，要找到动点问题中的不变量．