Question

5．（1）已知⊙O的半径为5，P为⊙O内一点，且OP=3；过点P的弦长是整数的弦有4条；
（2）如图⊙O的直径是10，弦AB=6，P是AB上一动点，则OP的取值范围是4≤OP≤5．

Answer 1

分析 （1）过点P最长的弦是10，根据已知条件，可以求出过点P的最短的弦是8，故过点P的弦的长度在8和10之间，所以过点P的弦中长度为整数的弦的条数为4；
（2）因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=4，即OP的最小值为4，所以4≤OP≤5．

解答 解：（1）如图1所示，
作AB⊥OP于P，
AP=BP，
在Rt△AOP中，OP=3，OA=5，
AP=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AB=8，
故过点P的弦的长度在8和10之间，弦为9的有2条，
∴所有过点P的所有弦中取整数的有8，9，10．这三个数，
又∵圆是轴对称图形，
∴过点P的弦中长度为整数的弦的条数为4．
故答案为：4；

（2）如图2，连接OA，作OM⊥AB与M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OP的最大值为5，
∵OM⊥AB与M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中，OM=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
OM的长即为OP的最小值，
∴4≤OP≤5．
故答案为：4≤OP≤5．

点评 此题考查了垂径定理的应用．解决本题的关键是确定OP的最小值，所以求OP的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，利用勾股定理求解．