Question

A=（2+1）×（2²+1）×（2⁴+1）×…×（2⁶⁴+1），则A²⁰¹³的个位数字是

 

．

Answer 1

考点：尾数特征,平方差公式

专题：

分析：把前面的算式乘（2-1），再依次运用平方差公式进行计算即可；进一步利用的2ⁿ末尾数字是2、4、8、6四个数字一循环，找出规律，得出末尾数字即可．

解答：解：原式=（2-1）（2+1）×（2²+1）×（2⁴+1）×…×（2⁶⁴+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）（2⁶⁴+1）
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）（2⁶⁴+1）
=（2⁸-1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）（2⁶⁴+1）
=（2¹⁶-1）（2¹⁶+1）（2³²+1）（2⁶⁴+1）
=（2³²-1）（2³²+1）（2⁶⁴+1）
=（2⁶⁴-1）（2⁶⁴+1）
=2¹²⁸-1．
2ⁿ末尾数字是2、4、8、6四个数字一循环，128÷4=32，
所以2¹²⁸-1的末尾数字与2⁴-1的末尾数字相同是5．
因此A²⁰¹³的个位数字是5．
故答案为：5．

点评：本题考查了平方差公式的应用以及末尾数字的判定，注意：（a+b）（a-b）=a²-b²．