Question

（1）如图1，菱形ABCD中，对角线AC、BD 相交于点O，点E是AB的中点，已知AC=8cm，BD=6cm，求OE的长．
（2）如图2，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，求∠AEG和∠ECB的度数．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的性质得AC与OB互相垂直平分，则得到∠AOB=90°，OA=4cm，OB=3cm，再根据勾股定理计算出AB=5cm，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到OE的长；
（2）根据矩形的性质得AD∥BC，再根据平行线的性质得∠DEF=∠EFG=55°，然后根据折叠的性质得到∠DEF=∠D′EF=55°，即∠DED′=110°，所以∠AEG=180°-∠DEG=70°，∠EGB=∠DEG=110°．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC与OB互相垂直平分，
∴∠AOB=90°，OA=

1

2

AC=4cm，OB=

1

2

BD=3cm，
∴AB=

OA2+OB2

=5cm，
∵点E是AB的中点，
∴OE=

1

2

AB=

5

2

cm；

（2）∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFG=55°，
∵长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上，
∴∠DEF=∠D′EF=55°，
∴∠DED′=110°，
∴∠AEG=180°-∠DEG=70°，∠EGB=∠DEG=110°．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了菱形、矩形的性质以及勾股定理．