Question

如图，在平面直角坐标系中，半径分别为3和的⊙O₁和⊙O₂外切于原点O，在x轴上方的两圆的外公切线AB与⊙O₁和⊙O₂分别切于点A、B，直线AB交y轴于点C．O₂D⊥O₁A于点D．
（1）求∠O₁O₂D的度数；
（2）求点C的坐标；
（3）求经过O₁、C、O₂三点的抛物线的解析式；
（4）在抛物线上是否存在点P，使△PO₁O₂为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可在直角三角形O₁O₂D中，根据两圆的半径来求，连接O₂B可发现，O₁D实际是两圆的半径差，而O₁O₂实际是两圆的半径和，可据此求出∠O₁O₂D的正弦值，以此可求出∠O₁O₂D的度数．
（2）根据切线长定理可知OC=AC=BC，即OC=AB，而AB可在直角三角形O₁O₂D中求出，由此可得出所求的解．
（3）已知了三点的坐标，用待定系数法求解即可．
（4）很明显C点符合P点的条件（连接O₁C，O₂C可得出∠O₁CO+∠O₂CO=∠ACB=90°），那么C点关于抛物线的对称轴的对称点也应该符合P点的条件．
解答：解：（1）连接O₂B，

易证四边形ADO₂B为矩形
在Rt△O₂DO₁中，
O₁D=2，O₁O₂=4
则∠O₁O₂D=30°，O₂D=6；

（2）由（1）得AB=O₂D=6
又∵AB、OC是⊙O₁、⊙O₂的切线
∴OC=AC=BC=3
∴点C的坐标为（0，3）

（3）由图知：O₁、O₂点的坐标为（-3，0）、（，0）
设过点O₁、O₂、C三点的抛物线的解析式为
y=ax²+bx+c
则有：
解之得：a=b=c=3
故抛物线的解析式为：y=x²+x+3

（4）存在
点C显然满足条件．
又根据抛物线的对称性知，点C关于x=的对称点也满足条件
即P点的坐标为（0，3）、（，3）．
点评：本题考查了圆的相关知识以及二次函数的应用等知识点．难度适中．