Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线顶点为，且该抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）.我们规定：抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”（不包含边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点.

（1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）；

（2）如果抛物线经过.

①求的值；

②在①的条件下，直接写出“区域”内整点的个数.

（3）如果抛物线在“区域”内有4个整点，直接写出的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②6个；（3）或.

【解析】

（1）将抛物线改写为顶点式，即可得到顶点坐标；

（2）①将（1,3）代入，即可求出的值；②根据函数图像可判断出整数的个数；

（3）分和两种情况讨论，根据有4个整点画出图像，可求出 的取值范围.

（1）∵，

∴该抛物线的顶点为.

（2）①∵抛物线经过，

∴，解得.

②当时，，

令y=0，则，解得，，

设抛物线与x轴交于A、B两点，则A（-1,0），B（3,0），抛物线图像如下图所示，

当时，，所以（0,1）和（0,2）两个整数点在“区域”，

当时，，所以（1,1）和（1,2）两个整数点在“区域”，

当时，，所以（2,1）和（2,2）两个整数点在“区域”，

综上所述，此“区域”内整点的个数为6个.

（3）当时，，

∴抛物线与y轴的交点为（0，-3a），

当时，

当时，

若，则函数图像如下图所示，

由图像可知，如果抛物线在“区域”内有4个整点，

则，解得：；

若，则函数图像如下图所示，

由图像可知，如果抛物线在“区域”内有4个整点，

则，解得：.

综上所述，如果抛物线在“区域”内有4个整点，则的取值范围为或.