Question

【题目】已知，点，点分别在轴正半轴和负半轴上，．

（1）如图1，若，，求的度数；

（2）在和内作射线，，分别与过点的直线交于第一象限内的点和第三象限内的点．

①如图2，若，恰好分别平分和，求的值；

②若，，当，则的取值范围是__________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）利用二次根式的性质求得的值，根据三角形内角和定理结合已知条件构建方程，再利用平行线的性质即可求解；

（2）①过M作MF∥AB，NG∥AB，根据角平分线的性质和平行线的性质，求得∠AMN-∠ENM = –，再根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解；

②设，，则，，根据①的解法即可求得∠AMN-∠ENM=，再解不等式组即可求解．

（1）∵，整理得：，

∴，

解得：，

∴∠BAD=4∠OED，

∵∠OED+∠ODE=90①，∠BAD+∠ODE=180，即4∠OED +∠ODE=180②，

联立①②解得：∠OED=30，∠ODE=60，

∵AB∥DE，

∴∠CAD=∠ODE=60；

（2）①∵AM、EN是∠BAO、∠DEO的平分线，

∴设，，

过M作MF∥AB，NG∥AB分别交AD于F，G，

∵AB∥DE，

∴AB∥MF∥NG∥DE，

∴∠FMA=∠BAM=，∠FMN=∠MNG，∠GNE=∠NED=，

∴∠AMN=∠FMA+∠FMN= +∠FMN，

∠ENM=∠GNE +∠MNG = +∠FMN，

∴∠AMN-∠ENM= +∠FMN--∠FMN= –；

∵∠ODE+∠OED=∠ODE+2 =90，

∵AB∥DE，

∴∠BAD+∠ODE=180，即+∠ODE=180，

∴ –=90，

∴∠AMN-∠ENM=–=45；

②∵，，

∴设，，则，，

过M作MF∥AB，NG∥AB分别交AD于F，G，

∵AB∥DE，

∴AB∥MF∥NG∥DE，

∴∠FMA=∠BAM=，∠FMN=∠MNG，∠GNE=∠NED=，

∴∠AMN=∠FMA+∠FMN= +∠FMN，

∠ENM=∠GNE +∠MNG = +∠FMN，

∴∠AMN-∠ENM= +∠FMN--∠FMN= –=；

∵∠ODE+∠OED=∠ODE+ =90，

∵AB∥DE，

∴∠BAD+∠ODE=180，即+∠ODE=180，

∴–=90，即–=，

∴∠AMN-∠ENM==；

∵，

∴，

解不等式，化简得：，

解得：，

解不等式，化简得：，

解得：，

∴的取值范围是．