Question

（2005•内江）如图所示，⊙O半径为2，弦BD=2，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】分析：由A是弧BD的中点，根据垂径定理，可知OF⊥BD，且BF=DF=BD=，在Rt△BOF中，利用勾股定理，可求出OF=1，即AF=1，那么，S_△ABD=×BD×AF=，而E是AC中点，会出现等底同高的三角形，因而有S_四边形=2S_△ABD=2．
解答：解：连接OA交BD于点F，连接OB，
∵OA在直径上且点A是弧BD中点，
∴OA⊥BD，BF=DF=
在Rt△BOF中
由勾股定理得OF²=OB²-BF²
OF==1
∵OA=2
∴AF=1
∴S_△ABD==
∵点E是AC中点
∴AE=CE
又∵△ADE和△CDE同高
∴S_△CDE=S_△ADE
∵AE=EC，
∴S_△CBE=S_△ABE．
∴S_△BCD=S_△CDE+S_△CBE=S_△ADE+S_△ABE=S_△ABD=
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=2．
点评：本题利用了垂径定理、勾股定理，还有等底同高的三角形面积相等等知识．