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【题目】如图,直线轴交于点,与轴交于点,把沿轴对折,点落到点处,过点的抛物线与直线交于点

1)求直线和抛物线的解析式;

2)在直线上方的抛物线上求一点,使面积最大,求出点坐标;

3)在第一象限内的抛物线上,是否存在一点,作垂直于轴,垂足为点,使得以为项点的三角形与相似?若存在,求出点的坐标:若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2;(3)存在,

【解析】

(1)由直线可以求出AB的坐标,由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式;

(2)先求得点D的坐标,作EFy轴交直线BDF,设,利用三角形面积公式求得,再利用二次函数性质即可求得答案;

(3)如图12,分类讨论,当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时,由相似三角形的性质就可以求出结论;

(1)∵直线AB

y=0,则,令,则y=2

∴点AB的坐标分别是:A (-10)B(02)

根据对折的性质:点C的坐标是:(10)

设直线BD解析式为

B(02)C(10)代入,得

解得:

∴直线BD解析式为

A(-10)B(02)代入

解得:

∴抛物线的解析式为

(2)解方程组得:

∴点D坐标为(3-4)

EFy轴交直线BDF

(03)

∴当时,三角形面积最大,

此时,点的坐标为:

(3)存在.

∵点BC的坐标分别是B (02)C (10)

①如图1所示,

当△MON∽△BCO时,

,即

,则

代入抛物线的解析式得:

解得:(不合题意,舍去),

∴点M的坐标为(12)

②如图2所示,

当△MON∽△CBO时,

,即

MN=ON

,则M(bb)

M(bb)代入抛物线的解析式得:

解得:(不合题意,舍去),

∴点M的坐标为()

∴存在这样的点

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