【题目】如图,直线与轴交于点,与轴交于点,把沿轴对折,点落到点处,过点、的抛物线与直线交于点、.
(1)求直线和抛物线的解析式;
(2)在直线上方的抛物线上求一点,使面积最大,求出点坐标;
(3)在第一象限内的抛物线上,是否存在一点,作垂直于轴,垂足为点,使得以、、为项点的三角形与相似?若存在,求出点的坐标:若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,或.
【解析】
(1)由直线可以求出A,B的坐标,由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式;
(2)先求得点D的坐标,作EF∥y轴交直线BD于F,设,利用三角形面积公式求得,再利用二次函数性质即可求得答案;
(3)如图1,2,分类讨论,当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时,由相似三角形的性质就可以求出结论;
(1)∵直线AB为,
令y=0,则,令,则y=2,
∴点A、B的坐标分别是:A (-1,0),B(0,2),
根据对折的性质:点C的坐标是:(1,0) ,
设直线BD解析式为,
把B(0,2),C(1,0)代入,得,
解得:,,
∴直线BD解析式为,
把A(-1,0),B(0,2)代入得,
解得:,,
∴抛物线的解析式为;
(2)解方程组得:和,
∴点D坐标为(3,-4) ,
作EF∥y轴交直线BD于F
设
∴
(0<<3)
∴当时,三角形面积最大,
此时,点的坐标为:;
(3)存在.
∵点B、C的坐标分别是B (0,2)、C (1,0),
∴,,
①如图1所示,
当△MON∽△BCO时,
∴,即,
∴,
设,则,
将代入抛物线的解析式得:
解得:(不合题意,舍去),,
∴点M的坐标为(1,2);
②如图2所示,
当△MON∽△CBO时,
∴,即,
∴MN=ON,
设,则M(b,b),
将M(b,b)代入抛物线的解析式得:
∴
解得:(不合题意,舍去),,
∴点M的坐标为(,),
∴存在这样的点或.
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【题目】综合与实践:
问题情境:已知是正方形的对角线,将直角三角尺放在正方形上.
(1)如图1,使三角尺的直角顶点与点重合,三角尺的一条直角边交直线于点,另一条直角边交直线于点.求证:.
操作发现:
(2)如图2,将三角尺的直角项点放在上,三角尺的一条直角边交直线于点,另一条直角边交直线于点.判断和的数量关系,并说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:D是BC的中点;
(2)若BA⊥AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
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【题目】如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D. 点E在BC上,EF⊥AB,垂足为F,∠1=∠2.
(1)试说明DG∥BC的理由;
(2)如果∠B=54°,且∠ACD=35°,求的∠3度数.
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【题目】绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额,绘制了如下折线统计图和扇形统计图:
设销售员的月销售额为x(单位:万元)。销售部规定:当x<16时,为“不称职”,当 时为“基本称职”,当 时为“称职”,当 时为“优秀”.根据以上信息,解答下列问题:
(1)补全折线统计图和扇形统计图;
(2)求所有“称职”和“优秀”的销售员销售额的中位数和众数;
(3)为了调动销售员的积极性,销售部决定制定一个月销售额奖励标准,凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励。如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖,月销售额奖励标准应定为多少万元(结果去整数)?并简述其理由.
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【题目】如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A(2,3),B(6,n)两点.
(1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求△OAB的面积.
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【题目】如图,一个转盘被分成等分,每一份上各写有一个数字,随机转动转盘次,第一次转到的数字数字为十位数字,第二次转到的数字为个位数字,次转动后组成一个两位数(若指针停在等分线上则重新转一次)
用画树状图的方法求出转动后所有可能出现的两位数的个数.
甲、乙两人做游戏,约定得到的两位数是偶数时甲胜,否则乙胜,这个游戏公平吗?请说明理由.
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【题目】如图,点A是直线AM与⊙O的交点,点B在⊙O上,BD⊥AM,垂足为D,BD与⊙O交于点C,OC平分∠AOB,∠B=60°.
(1)求证:AM是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).
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【题目】为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件元,出厂价为每件元,每月销售量(件)与销售单价(元)之间的关系近似满足一次函数:.
(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?
(2)设李明获得的利润为(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于元.如果李明想要每月获得的利润不低于元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?
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