Question

已知：如图，点D的坐标为（0，6），过原点O和点D点的圆交x轴的正半轴于A点，圆周角∠OCA=30°．
求（1）A点的坐标；
（2）图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）首先连接AD，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ADO的度数，然后在Rt△AOD中，利用∠ADO的正切，即可求得OA的长，继而可得A点的坐标．
（2）从图中明确S_阴=S_扇形OBA-S_△OBA，然后依公式计算即可．

解答：解：（1）连接AD．则∠ADO=∠OCA=30°，
∵点D的坐标为（0，6），
∴OD=6，
在Rt△AOD中，OA=OD•tan∠ADO=6×

3

3

=2

3

，
∴A点的坐标为（2

3

，0）．

（2）∵∠AOD=90°，
∴AD是该圆的直径，
过点O作AD边上的中线OB，则OB=AB=BD，即点B为该圆的圆心，
∴∠AOB=2∠OPCA=60°，
∴△OBA是等边三角形，
∴OB=AB=OA=2

3

．
∴S_扇形OBA=

60π×(2 3 )2

360

=2π，S_△OBA=

1

2

×2

3

×2

3

×

3

2

=3

3

，
∴S_阴=S_扇形OBA-S_△OBA=2π-3

3

．

点评：此题考查了圆周角定理与特殊角的三角函数．此题难度不大，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用，注意掌握辅助线的作法．