Question

【题目】如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作⊙O切线EF交BA的延长线于F.

(1)如图1，求证：EF∥AC；

(2)如图2，OP⊥AO交BE于点P，交FE的延长线于点M.求证：△PME是等腰三角形；

(3)如图3，在(2)的条件下：EG⊥AB于H点，交⊙O于G点，交AC于Q点，若sinF=，EQ=5，求PM的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）PM=.

【解析】

（1）连接OE，若要证明EF∥AC，则可转化为证明∠F=∠CAB即可；

（2）连接OC，OE，由已知条件易证∠MEP=∠MPE，所以可得MP=ME，进而证明△PME是等腰三角形；

（3）连接OE，首先证明AQ=EQ=5，则EH的长可求出，设OE=x，则OH=AO-AH=x-4，在Rt△EHO中，x2=82+（x-4）2，可求出OE的长，即圆的半径，再由垂径定理可证明OE⊥AC，进而可证明∠EOM=∠CAB，由锐角三角函数值即可求出EM的值，继而PM的长可求出．

解：（1）证明：连接OE，

∵EF是圆的切线，

∴OE⊥FE，

∴∠F+∠FOE=90°，

∴AB为直径，

∴∠C=90°，

∴∠ABC+∠CAB=90°，

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE，

∵BE是∠B的平分线，

∴∠OBE=∠CBE，

∵∠FOE=∠OEB+∠OBE，

∴∠EOF=∠ABC，

∴∠F=∠CAB，

∴EF∥AC；

（2）连接OE，

∵OP⊥AO交BE于点P，

∴∠OPB+∠OBE=90°，

∵∠MEP+∠OEP=90°，∠OEP=9∠OBE，

∴∠OPB=∠MEB，

又∵∠OPB=∠EPM，

∴∠MEB=∠EPM，

∴MP=ME，

∴△PME是等腰三角形；

（3）连接OE，

∵EG⊥AB于H点，

∴弧AE=弧AG，

∴∠AEG=∠ABE，

∵∠ABE=∠EAC，

∴∠EAC=∠AEG，

∴AQ=EQ=5，

∵∠F=∠CAB，

∴sinF=sin∠CAB==，

∴QH=3，

∴AH==4，

∴EH=EQ+QH=8，

设OE=x，则OH=AO-AH=x-4，

在Rt△EHO中，x2=82+（x-4）2，

解得：x=10，

∴OE=10，

∵BE是∠B的平分线，

∴弧CE=弧AE，

∴OE⊥AC，

∴∠CAB+∠AOD=90°，

∵∠EOM+∠AOD=90°，

∴∠EOM=∠CAB，

∴sin∠EOM=，

设ME=3x，OM=5x，则OE=4x，

∴tan∠EOM= ，

∴ME=，

∴PM=ME=．