Question

如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点．
（1）求出A，B两点的坐标；
（2）若有一条开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上，请求出此抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）过C作AB的垂线，设垂足为H，在Rt△CAH中，已知圆的半径和CH的长（由C点坐标获得），利用勾股定理即可求得AH的长，进而可得到点A的坐标，B点坐标的求法相同．
（2）根据抛物线和圆的对称性知：C、P都在弦AB的垂直平分线上，已知了C点坐标和圆的半径，即可得到点P的坐标，而P为抛物线顶点，可将所求抛物线设为顶点坐标式，然后将A点坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而求出该抛物线的解析式．

解答：解：（1）过点C作CH⊥x轴，H为垂足；
又∵C（1，1），
∴CH=OH=1；（1分）
∴在Rt△CHB中，HB=

CB2-CH2

=

3

；（3分）
∵CH⊥AB，CA=CB，
∴AH=BH；
故A（1-

3

，0），B（1+

3

，0）．（5分）

（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）；（6分）
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）²+3，
由已知得抛物线经过点B（1+

3

，0），（7分）
把点B（1+

3

，0）代入上式，
解得a=-1，（8分）
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+2．（9分）
（利用抛物线经过P（1，3），A（1-

3

，0），B（1+

3

，0）

点评：此题考查了垂径定理、勾股定理、抛物线和圆的对称性、二次函数解析式的确定等知识，虽然涉及知识点较多，但难度不大．