Question

如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度；
（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

Answer 1

（1）（2）存在，F点的坐标为（2，－3）（3）或（4），解析:
解：（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） 
将A、B、C三点的坐标代入得         ………………… 2分
解得：                                      
所以这个二次函数的表达式为：         ………………… 3分
方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）         
设该表达式为：                    ………………… 2分
将C点的坐标代入得：                          
所以这个二次函数的表达式为：          …………………3分
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）
（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3）             
理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
∴E点的坐标为（－3，0）                             
由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F，坐标为（2，－3）                         ………………… 6分
方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
∴E点的坐标为（－3，0）                            
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）  
代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合
∴存在点F，坐标为（2，－3）                       ………………… 6分
（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得        …………………8分
②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），
则N（r+1，－r），
代入抛物线的表达式，解得    ………………… 9分
∴圆的半径为或．    
（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G（2，－3），直线AG为．       
设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．
             
当时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为，．   ………………… 12分
（1）根据已知条件，易求得C、A的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，由平行四边形的性质以及二次函数的性质得出AE=CF，AE∥CF即可得出答案．
（3）分两种情况进行讨论：①当直线MN在x轴上方时；②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径，代入抛物线求解
（4）易求得AC的长，由于AC长为定值，当P到直线AG的距离最大时，△APG的面积最大．可过P作y轴的平行线，交AG于Q；设出P点坐标，根据直线AG的解析式可求出Q点坐标，也就求出PQ的长，进而可得出关于△APG的面积与P点坐标的函数关系式，根据函数的性质可求出△APG的最大面积及P点的坐标，根据此时△APG的面积和AG的长，即可求出P到直线AC的最大距离．