Question

11．已知如图，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF交于点G．
（1）若∠COD=90°，OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=36°求∠OGA的度数．
（2）若∠COD＜90°，
①∠GOA=$\frac{1}{3}$∠BOA，∠GAD=$\frac{1}{3}$∠BAD，∠OBA=36°，求∠OGA的度数．
②将①中“∠OBA=36°”改为“∠OBA=β”，其余条件不变，则∠OGA=$\frac{β}{3}$（用含β的代数式表示）．
（3）若∠COD＜90°，∠GOA=$\frac{1}{n}$∠BOA，∠GAD=$\frac{1}{n}$∠BAD，∠OBA=β°，则∠OGA=$\frac{β}{n}$．（含n、β的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；
（2）①根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；
②根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；
（3）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可．

解答 解：（1）∵∠BOA=90°，∠OBA=36°，
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=126°，
∵AF平分∠BAD，OE平分∠BOA，∠BOA=90°，
∴∠GAD=$\frac{1}{2}$∠BAD=63°，∠EOA=$\frac{1}{2}$∠BOA=45°，
∴∠OGA=∠GAD-∠EOA=63°-45°=18°；

（2）①∵∠BOA=90°，∠OBA=36°，
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=126°，
∵∠BOA=90°，∠GOA=$\frac{1}{3}$∠BOA，∠GAD=$\frac{1}{3}$∠BAD
∴∠GAD=42°，∠EOA=30°，
∴∠OGA=∠GAD-∠EOA=42°-30°=12°；

②∵∠BOA=90°，∠OBA=β，
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=90°+β，
∵∠BOA=90°，∠GOA=$\frac{1}{3}$∠BOA，∠GAD=$\frac{1}{3}$∠BAD
∴∠GAD=30°+$\frac{β}{3}$，∠EOA=30°，
∴∠OGA=∠GAD-∠EOA=$\frac{β}{3}$，
故答案为：$\frac{β}{3}$；

（3）∵∠BOA=90°，∠OBA=β，
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=90°+β，
∵∠BOA=90°，∠GOA=$\frac{1}{n}$∠BOA，∠GAD=$\frac{1}{n}$∠BAD
∴∠GAD=（$\frac{90}{n}$）°+$\frac{β}{n}$，∠EOA=（$\frac{90}{n}$）°，
∴∠OGA=∠GAD-∠EOA=$\frac{β}{n}$，
故答案为：$\frac{β}{n}$．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了三角形外角性质，求解过程类似．