Question

14．如图，CD为大半圆M的直径，E为CM上一点，以CE为直径画小半圆N，大半圆M的弦AB与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设$\widehat{CD}$、$\widehat{CE}$的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）的值为8π．

Answer 1

分析 过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，根据垂径定理得到BG=AG=2，利用勾股定理可得MB²-MG²=2²=4，再根据切线的性质有NF⊥AB，而AB∥CD，得到MG=NF，设⊙M，⊙N的半径分别为R，r，则z（x+y）=（CD-CE）（π•R+π•r）=（R²-r²）•2π，即可得到z（x+y）的值．

解答 解：过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，如图，
而AB=4，
∴BG=AG=2，
∴MB²-MG²=2²=4，
又∵大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，
∴NF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴MG=NF，
设⊙M，⊙N的半径分别为R，r，
∴z（x+y）=（CD-CE）（π•R+π•r），
=（2R-2r）（R+r）•π，
=（R²-r²）•2π，
=4•2π，
=8π．
故答案为：8π．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；也考查了切线的性质和圆的面积公式以及勾股定理．