Question

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（6，4），E为AB的中点，过点D（8，0）和点E的直线分别与BC、y轴交于点F、G．
（1）求直线DE的函数关系式；
（2）函数y=mx-2的图象经过点F且与x轴交于点H，求出点F的坐标和m值；
（3）在（2）的条件下，求出四边形OHFG的面积．

Answer 1

分析：（1）由顶点B的坐标为（6，4），E为AB的中点，可求得点E的坐标，又由过点D（8，0），利用待定系数法即可求得直线DE的函数关系式；
（2）由（1）可求得点F的坐标，又由函数y=mx-2的图象经过点F，利用待定系数法即可求得m值；
（3）首先可求得点H与G的坐标，即可求得CG，OC，CF，OH的长，然后由S_{四边形OHFG}=S_梯形OHFC+S_△CFG，求得答案．

解答：解：（1）设直线DE的解析式为：y=kx+b，
∵顶点B的坐标为（6，4），E为AB的中点，
∴点E的坐标为：（6，2），
∵D（8，0），
∴

6k+b=2 8k+b=0

，
解得：

k=-1 b=8

，
∴直线DE的函数关系式为：y=-x+8；

（2）∵点F的纵坐标为4，且点F在直线DE上，
∴-x+8=4，
解得：x=4，
∴点F的坐标为；（4，4）；
∵函数y=mx-2的图象经过点F，
∴4m-2=4，
解得：m=

3

2

；

（3）由（2）得：直线FH的解析式为：y=

3

2

x-2，
∵

3

2

x-2=0，
解得：x=

4

3

，
∴点H（

4

3

，0），
∵G是直线DE与y轴的交点，
∴点G（0，8），
∴OH=

4

3

，CF=4，OC=4，CG=OG-OC=4，
∴S_{四边形OHFG}=S_梯形OHFC+S_△CFG=

1

2

×（

4

3

+4）×4+

1

2

×4×4=18

2

3

．

点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、中点坐标的求解方法以及多边形的面积问题．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．