Question

（2009•江北区模拟）如图，以Rt△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点D，其中∠CAB=90°，E为AC的中点，且AB=4cm，AC=3cm．
（1）求tan∠CAD．
（2）连接OE，请你说明OE与AD的位置关系．
（3）求证：DE是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可求得∠CAD=∠B，则tan∠CAD=tan∠B=；
（2）由EA=ED，OA=OD可得到点E，O均在AD的中垂线上，则OE为AD的中垂线，即AD⊥OE；
（3）要证明DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．
解答：解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠B+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠CAD=∠B；
又∵AB=4cm，AC=3cm，
∴tan∠CAD=tan∠B==．

（2）∵∠CDA=90°，E为AC的中点，
∴EA=ED，
∴点E在AD的中垂线上；
∵AO=DO，
∴点O也在AD的中垂线上，
∴OE为AD的中垂线，
∴AD⊥OE．

（3）在△EOA和△EOD中；
AE=DE，AO=DO，EO=EO，
∴△EOA≌△EOD，
∴∠EDO=∠EAO=90°；
∵OD过圆心O，
∴DE为⊙O的切线．
点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．