Question

如图1，已知双曲线y₁=

k

x

（k＞0）与直线y₂=k′x交于A、B两点，其中点A在第一象限．试解答下列问题：

（1）若点A的坐标为（3，2），则点B的坐标为

 

；当x满足

 

时，y₁＜y₂；
（2）如图2，过点O另作一直线l，交双曲线于P、Q两点，且点P在第一象限内．
①四边形APBQ的形状一定是

 

；
②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积；
③设点A、P的横坐标分别为x₁、x₂，是否存在这样的直线PQ，使得∠APB为直角？若存在，求x₁、x₂应满足的条件；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）待定系数法即可求得双曲线和直线的解析式，然后解方程组即可求得交点坐标，根据双曲线的性质结合图象即可判断出x的取值，
（2）①点A与点B，点P与点Q关于原点对称，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明APBQ是平行四边形．②平行四边形的对角线把它分成四个面积相等的三角形，所以只要求出△AOP的面积，再将其乘以4就可以得到四边形APBQ的面积③根据对角线相等的平行四边形是矩形可知，当x₁ x₂=k时OP=OA，此时APBQ是矩形，进而得出∠APB为直角；

解答：解：（1）∵双曲线y₁=kx（k＞0）经过A（3，2）点，
∴2=

k

3

，解得：k=6，
∴双曲线解析式为：y=6x，
∵直线y₂=k′x经过A（3，2），
∴2=3k′，解得：k′=

2

3

，
∴直线AB为：y=

2

3

x，
解

y= 6 x y= 2 3 x

得

x=3 y=2

或

x=-3 y=-2

∴B（-3，-2）；
∵双曲线在每一象限y随x的增大而减小，直线y随x的增大而增大，
∴根据图象可知，-3＜x＜0，或x＞3时，y1＜y2；

（2）①∵AB、PQ是中心对称图形，
∴AO=OB，PO=OQ
∴四边形APBQ是平行四边形；
②∵A点的坐标是（3，1）
∴双曲线为y=

3

x

，
∵点P的横坐标为1，
∴P点坐标为（1，3），
过A作x轴的垂线CD交x轴于C，可得直角梯形OPDC，过P作PD⊥DC，垂足为D，
∴D（3，3），
∵S梯形=

1

2

（PD+OC）•DC=

1

2

（2+3）×3=

15

2

，S△APD=

1

2

PD•AD=

1

2

×2×2=2，S△OAC=

1

2

OC•AC=

1

2

×3×1=

3

2

，
∴S△AOP=S梯形-S△APD-S△OAC=4，
∴S平行四边形=4S△AOP=16．

③∵当x1•x2=k时，此时A（x1，x2），P（x2，x1），
∴OA=OP，对角线相等且平分的四边形是矩形，
∴四边形APBQ是矩形，
∴∠APB为直角．

点评：本题考查了正比例函数与反比例函数的性质及对函数的性质灵活运用，同时也训练了平行四边形和矩形的相关性质，点A与点B关于原点对称的知识，本题考点清晰，难度不大，但数形结合能比较综合的考查学生的分析能力．