【题目】如图1,点O为直线AB上一点,过O点作射线OC,使∠AOC:∠BOC=1:2,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置,使得ON落在射线OB上,此时三角板旋转的角度为度;
(2)继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置,使得ON在∠AOC的内部.试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系,并说明理由;
(3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中,若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转,当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时,求此时三角板绕点O的运动时间t的值.
【答案】
(1)90
(2)解:如图3,∠AOM﹣∠NOC=30°.
设∠AOC=α,由∠AOC:∠BOC=1:2可得
∠BOC=2α.
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴α+2α=180°.
解得 α=60°.
即∠AOC=60°.
∴∠AON+∠NOC=60°.①
∵∠MON=90°,
∴∠AOM+∠AON=90°.②
由②﹣①,得∠AOM﹣∠NOC=30°
(3)解:(ⅰ)如图4,当直角边ON在∠AOC外部时,
由OD平分∠AOC,可得∠BON=30°.
因此三角板绕点O逆时针旋转60°.
此时三角板的运动时间为:
t=60°÷15°=4(秒).
(ⅱ)如图5,当直角边ON在∠AOC内部时,
由ON平分∠AOC,可得∠CON=30°.
因此三角板绕点O逆时针旋转240°.
此时三角板的运动时间为:
t=240°÷15°=16(秒)
【解析】(1)根据旋转的性质知,旋转角是∠MON;(2)如图3,利用平角的定义,结合已知条件“∠AOC:∠BOC=1:2”求得∠AOC=60°;然后由直角的性质、图中角与角间的数量关系推知∠AOM﹣∠NOC=30°;(3)需要分类讨论:(ⅰ)当直角边ON在∠AOC外部时,旋转角是60°;(ⅱ)当直角边ON在∠AOC内部时,旋转角是240°.
【考点精析】解答此题的关键在于理解角的运算的相关知识,掌握角之间可以进行加减运算;一个角可以用其他角的和或差来表示,以及对旋转的性质的理解,了解①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了.
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【题目】已知⊙O的半径为4cm,A为线段OP的中点,当OP=7cm时,点A与⊙O的位置关系是( )
A.点A在⊙O内
B.点A在⊙O上
C.点A在⊙O外
D.不能确定
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【题目】已知抛物线(<<0)与x轴最多有一个交点,现有以下结论:
①<0;②该抛物线的对称轴在y轴左侧;③关于x的方程有实数根;④对于自变量x的任意一个取值,都有,其中正确的为()
A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④
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【题目】如图,在直角坐标平面中,O为原点,点A的坐标为(20,0),点B在第一象限内,BO=10,sin∠BOA=.
(1)在图中,求作△ABO的外接圆;(尺规作图,不写作法但需保留作图痕迹)
(2)求点B的坐标与cos∠BAO的值;
(3)若A,O位置不变,将点B沿轴正半轴方向平移使得△ABO为等腰三角形,请直接写出平移距离.
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【题目】某校组织了一次G20知识竞赛活动,根据获奖同学在竞赛中的成绩制成的统计图表如下,仔细阅读图表解答问题:
(1)求出表中a,b,c的数值,并补全频数分布直方图;
(2)获奖成绩的中位数落在哪个分数段?
(3)估算全体获奖同学成绩的平均分.
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【题目】我们已经知道,有一个内角是直角的三角形是直角三角形.其中直角所在的两条边叫直角边,直角所对的边叫斜边(如图①所示).数学家已发现在一个直角三角形中,两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方.如果设直角三角形的两条直角边长度分别是和,斜边长度是,那么可以用数学语言表达: .
(1)在图②,若, ,则 ;
(2)观察图②,利用面积与代数恒等式的关系,试说明的正确性.其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上;
(3)如图③所示,折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8,BC=10,利用上面的结论求EF的长.
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