Question

云南2009年秋季以来遭遇百年一遇的全省性特大旱灾，部分坝塘干涸，小河、小溪断流，更为严重的情况是有的水库已经见底，全省库塘蓄水急剧减少，为确保城乡居民生活用水，有关部门需要对某水库的现存水量进行统计，以下是技术员在测量时的一些数据：水库大坝的横截面是梯形ABCD（如图所示），AD∥BC，EF为水面，点E在DC上，测得背水坡AB的长为18米，倾角∠B=30°，迎水坡CD上线段DE的长为8米，∠ADC=120°．

（1）请你帮技术员算出水的深度（精确到0.01米，参考数据）；
（2）就水的深度而言，平均每天水位下降必须控制在多少米以内，才能保证现有水量至少能使用20天？（精确到0.01米）

Answer 1

【答案】分析：（1）过A、D分别作BC的高，设为AM、DN；过FE作DN的垂线设垂足为H；则水面的高度为HN．
可在Rt△ABM中，根据坡面AB的长以及坡角的度数，通过解在直角三角形求得AM的长；
易证得∠CDN=30°，同理可在Rt△DHE中，求出DH的值；由HE=DN-DH=AM-DH即可求出水的深度．
（2）将水的深度除以20，即可得解．
解答：解：（1）分别过A、D作AM⊥BC于M、DN⊥BC于N．（1分）
在Rt△ABM中
∵∠B=30°，
∴AM=AB=9米．
∵AD∥BC，AM⊥BC，DN⊥BC，
∴AM=DN=9米．                                （1分）
∵DN⊥BC，
∴DN⊥AD，
∴∠ADN=90°，
∠CDN=∠ADC-∠ADN=120°-90°=30°．
延长FE交DN于H．
在Rt△DHE中，cos∠EDH=，
即cos30°=．
∴DH=8×=4米．                          （4分）
∴HN=DN-DH=9-4=9-4×1.732≈2.07（米）．   （2分）

（2）=0.1035≈0.10（米）．              （1分）
答：平均每天水位下降必须控制在0.10米以内，才能保证现有水量至少能使用20天． （1分）
点评：应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．