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如图,OB是矩形OABC的对角线,抛物线y=-x2+x+6经过B,C两点,
(1)求点B的坐标:
(2)D、E分别是OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,过D、E的直线交x轴于F,试说明△FOE与△OBC是否相似;
(3)若点M是(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点N,使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)由抛物线解析式可求C点坐标,根据抛物线的对称性求B点坐标;
(2)作EG⊥x轴于点G,则EG∥BA,由平行得△OEG∽△OBH,利用相似比求OG,EG,确定E点坐标,再求直线DE的解析式,求OF及GF,利用比例证明△OGE∽△EGF,得出∠EOG=∠FEG,利用角的相等关系转化,证明△FOE∽△OBC;
(3)存在.根据①四边形ODMN为菱形,②四边形ODNM为菱形,③四边形OMDN为菱形,三种情况分别画出图形,根据菱形的性质及已知条件求N点坐标.
解答:解:(1)设x=0,则y=6,∴C(0,6),
又矩形OABC中,BC∥x轴,
∵抛物线y=-x2+x+6经过B,C两点,
∴B、C关于抛物线对称轴x=对称,
∴B(3,6);

(2)如图1,作EG⊥x轴于点G,则EG∥BA,
∴△OEG∽△OBA,

又∵OE=2EB,
=,∴==
∴OG=2,EG=4,∴E(2,4),
又∵D(0,5),设直线DE解析式为y=kx+b,
,解得
∴直线DE解析式为y=-x+5,
当y=0时,x=10,则OF=10,GF=OF-OG=8,
===
又∠OGE=∠EGF=90°,∴△OGE∽△EGF,
∴∠EOG=∠FEG,∴∠FEO=∠FEG+∠OEG=∠EOG+∠OEG=90°=∠OCB,
BC∥x轴,则∠OBC=∠EOF,
∴△FOE∽△OBC;

(3)存在.
①如图1,当OD=DM=MN=NO=5时,四边形ODMN为菱形,
作MP⊥y轴于点P,则MP∥x轴,∴△MPD∽△FOD,∴==
又∵OF=10,在Rt△ODF中,FD===5
==,∴MP=2,PD=
∴M(-2,5+),N(-2);
②如图2,当OD=DN=MN=MO=5时,四边形ODNM为菱形,
延长NM交x轴于P,则MP⊥x轴,
∵点M在直线y=-x+5上,∴设M(a,-a+5),
在Rt△OPM中,OP2+PM2=OM2,a2+(-a+5)2=52
解得a1=4,a2=0(舍去),
∴M(4,3),N(4,8);
③如图3,当OM=MD=DN=NO时,四边形OMDN为菱形,
连接NM,交OD于点P,则NM与OD互相垂直平分,
∴yM=yN=,∴-xM+5=,xM=5,
∴xN=-xM=-5,∴N(-5,).
综上所述x轴上方的点N有三个,
分别是N1(-2),N2(4,8),N3(-5,).
点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据矩形、菱形的性质,结合题目的已知条件,分类讨论.
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