Question

【题目】如图，抛物线与x轴分别相交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．

①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；

②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①H（，）；②存在，F的坐标为（，）或（，）．

【解析】

（1）把A和B的坐标代入抛物线解析式，即可求出b、c的值，从而得到抛物线的解析式；

（2）①表示出ON、MH，运用ON=MH，列方程求解即可；

②存在，先求出BC的解析式，根据互相垂直的直线一次项系数积等于﹣1，直线经过点P，用待定系数法求出直线PF的解析式，然后求直线BC与直线PF的交点坐标即可．

解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入抛物线得：，解得：b=1，c=4，∴；

（2）点C的坐标为（0，4），B（4，0），∴直线BC的解析式为，

①根据题意，ON=OM=t，MH=，∵ON∥MH，∴当ON=MH时，四边形OMHN为矩形，即，解得：或（不合题意舍去），把代入得：，∴H（，）；

②存在，当PF⊥BC时，∵直线BC的解析式为，

∴设PF的解析式为，又点P（1，）代入求得，

∴PF的解析式为，

∴根据题意列方程组：，解得：，

∴F（，）；

当PF⊥BP时，∵点P（1，），B（4，0），

∴直线BP的解析式为：，

∴设PF的解析式为，又点P（1，）代入求得，

∴PF的解析式为，

∴根据题意列方程组：，解得：，∴F（，），

综上所述：△PFB为直角三角形时，点F的坐标为（，）或（，）．