Question

11．如图，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{k-2}{4}$x-$\frac{k}{2}$（k＞0）与x轴交于点A、B，点A在点B的右边，与y轴交于点C

（1）如图1，若∠ACB=90°
①求k的值；
②点P为x轴上方抛物线上一点，且点P到直线BC的距离为$\sqrt{5}$，则点P的坐标为（-4-$\sqrt{26}$，$\frac{1+\sqrt{26}}{2}$）（请直接写出结果）
（2）如图2，当k=2时，过原点O的任一直线y=mx（m≠0）交抛物线于点E、F（点E在点F的左边）
①若OF=2OE，求直线y=mx的解析式；
②求$\frac{1}{OE}$+$\frac{1}{OF}$的值．

Answer 1

分析 （1）①选将函数关系式变形为y=$\frac{1}{4}$（x-2）（x+k），从而可得到点A和点B的坐标，然后再求得点C的坐标，接下来再证明△OBC∽△OCA，依据相似三角形的性质可得到OC²=AO•OB，从而列出关于k的方程，故此可求得k的值；
②将k=8代入抛物线的解析式得：y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x-4，然后再求得点A、B、C的坐标，依据勾股定理可求得AC的长，由点B和点C的坐标可求得BC的解析式，设M为AC的中点，则M（1，-2），过点M作PM∥BC，交抛物线与点P．然后求得PM的解析式，最后求得PM与抛物线的交点P的坐标即可；
（2）①过点E、F分别作x轴的垂线，垂直分别为M，N．把k=2代入得：y=$\frac{1}{4}$x²-1．将y=mx代入得：$\frac{1}{4}$x²-1=mx，依据一元二次方程根与系数的关系得到x_E+x_F=4m，x_E•x_F=-4，由OF=2OE，可得到x_F=-2x_E，从而可求得m的值；
②设∠FON=α，则$\frac{1}{OE}$+$\frac{1}{OF}$=cosα（$\frac{1}{OM}$+$\frac{1}{ON}$）．由直线的解析式可知cosα=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，然后依据一元二次方程根与系数的关系得到$\frac{1}{OM}$+$\frac{1}{ON}$=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，故此可求得问题的答案．

解答 解：（1）①∵y=$\frac{1}{4}$[x²+（k-2）x-2k]=$\frac{1}{4}$（x-2）（x+k），
∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（-k，0）．
∵将x=0代入抛物线的解析式为y=-$\frac{k}{2}$．
∴点C的坐标为（0，-$\frac{k}{2}$）．
∵∠BCO+∠ACO=90°，∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠OBC=∠OCA．
又∵∠BOC=∠AOC，
∴△OBC∽△OCA．
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OB}{OC}$．
∴OC²=AO•OB．
∴$\frac{1}{4}$k²=2k，解得：k=8或k=0（舍去）．

②将k=8代入抛物线的解析式得：y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x-4．
当x=0时，y=-4，
∴C（0，-4）．
令y=0得：$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x-4=0，解得x=-8或x=2．
∴A（2，0）B（-8，0）．
∴AC=$\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B和点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{-8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$-\frac{1}{2}$x-4．
设M为AC的中点，则M（1，-2），如图1所示：过点M作PM∥BC，交抛物线与点P．

设直线PM的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+c，将点M的坐标代入得：-$\frac{1}{2}$+c=-2，解得：c=-$\frac{3}{2}$．
∴直线PM的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$．
∴-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x-4，解得x=-4-$\sqrt{26}$或x=-4+$\sqrt{26}$（舍去）．
当x=-4-$\sqrt{26}$时，y=$\frac{1+\sqrt{26}}{2}$．
∴点P的坐标为（-4-$\sqrt{26}$，$\frac{1+\sqrt{26}}{2}$）．
故答案为：（-4-$\sqrt{26}$，$\frac{1+\sqrt{26}}{2}$）．

（2）①过点E、F分别作x轴的垂线，垂直分别为M，N．

把k=2代入得：y=$\frac{1}{4}$x²-1．
由$\frac{1}{4}$x²-1=mx，得到x_E+x_F=4m，x_E•x_F=-4．
∵OF=2OE，
∴x_F=-2x_E，且x_E＜0，
∴-2x_E•x_E=-4，解得：x_E=-$\sqrt{2}$．
∴-$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=4m，解得：m=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴直线的解析式为y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x．

②设∠FON=α，则$\frac{1}{OE}$+$\frac{1}{OF}$=cosα（$\frac{1}{OM}$+$\frac{1}{ON}$）．
∵直线EF的解析式为y=mx，
∴tanα=m，
∴cosα=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
∴$\frac{1}{OM}$+$\frac{1}{ON}$=$\frac{MN}{OM•ON}$=$\frac{{x}_{F}-{x}_{E}}{-{x}_{E}•{x}_{F}}$=$\frac{4\sqrt{{m}^{2}+1}}{4}$=$\sqrt{{m}^{2}+1}$．
∴$\frac{1}{OE}$+$\frac{1}{OF}$=cosα（$\frac{1}{OM}$+$\frac{1}{ON}$）=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$•$\sqrt{{m}^{2}+1}$=1．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程根与系数的关系，锐角三角函数的定义，用含m的式子表示$\frac{1}{OM}$+$\frac{1}{ON}$的长是解题的关键．