Question

实验与探究：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对应的边分别用a、b、c表示．

（1）如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°．易证：a²=b（b+c）
（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC，如图2，∠A=2∠B，关系式a²=b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论．
归纳与发现
由以上的证明，可以得到关于倍角三角形的一个结论：一个三角形中有一个角等于另一个角的两倍，2倍角所对边的平方等于一倍角所对边乘该边与第三边的和．
运用与推广
（3）（2009年全国初中数学联赛）在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8．则BC=

C

（A）7

2

   （B）10   （C）

105

    （D）7

3

（4）是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由∠A=2∠B，且∠A=60°，可求得∠C=90°，由勾股定理与c=2b，即可证得：a²=b（b+c）；
（2）由图可知△ACD与△BCD是等腰三角形，AC=AD=b，BC=CD=a，BD=b+c，又由△ACD∽△CBD，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（3）根据（1）、（2）的结论可直接得出答案；
（4）由题意得：若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，应有a²=b（b+c），且a＞b；然后分别从a＞c＞b，c＞a＞b，a＞b＞c去分析，即可求得符合要求的值．

解答：（1）证明：∵∠A=2∠B，且∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
∴a²+b²=c²，c=2b，
∴a²=c²-b²=（2b）²-b²=3b²=b²+2b²=b²+bc=b（b+c）；

（2）关系式a²=b（b+c）仍然成立．
证明：如图2所示，
∵△ACD为等腰三角形，
∴∠ACD=∠D，
∵∠BAC为△ACD的一个外角，
∴∠BAC=∠D+∠ACD=2∠D，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠D，
∴CD=BC=a，∠B=∠ACD，
∴BD=AB+AD=b+c，
又∵∠D为△ACD与△CBD的一个公共角，
∴△ACD∽△CBD．
∴

CD

BD

=

AC

BC

，即

a

b+c

=

b

a

，
∴a²=b（b+c）；

（3）解：∵在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8，
∴BC=

AB•(AB+AC)

=

7×(7+8)

=

105

．
故选C；

（4）存在．
证明：若△ABC是倍角三角形，
∵∠A=2∠B，
∴a²=b（b+c），且a＞b．
当a＞c＞b时，设a=n+1，c=n，b=n-1，（n为大于1的正整数）
代入a²=b（b+c），得（n+1）²=（n-1）•（2n-1），
解得：n=5，
∴a=6，b=4，c=5，可以证明这个三角形中，∠A=2∠B；
当c＞a＞b或a＞b＞c时，
均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形．
∴边长为4，5，6的三角形为所求．

点评：本题考查的是勾股定理，本题涉及到相似三角形的判定与性质、等腰三角形的相关知识，难度适中．