Question

6．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，矩形DEFG内接于△ABC中，如果DG：DE=3：5，求矩形DEFG的周长．

Answer 1

分析 首先过点C作CN⊥AB于点N，由在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，可求得AB与CN的长，易得△CGF∽△CAB，然后由相似三角形的对应高的比等于相似比，求得答案．

解答 解：过点C作CN⊥AB于点N，
∵在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴CN=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∵DG：DE=3：5，
∴设DG=3x，DE=5x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴FG∥AB，DE=FG=5x，MN=DG=3x，
∴CM⊥FG，△CGF∽△CAB，
∴$\frac{FG}{AB}$=$\frac{CM}{CN}$，
∴$\frac{5x}{5}$=$\frac{\frac{12}{5}-3x}{\frac{12}{5}}$，
解得：x=$\frac{4}{9}$，
∴矩形DEFG的周长为：2（3x+5x）=$\frac{64}{9}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．