Question

6．如图，正方形ABCD的边长为a，以BC为直径向正方形内画半圆，EF切半圆于点G，分别交AB、CD于点E、F．
（1）求四边形AEFD的周长；
（2）已知∠BEF=60°，求四边形EBCF的周长．

Answer 1

分析 （1）先判断BA、CD都与半圆相切，再根据切线长定理得到EB=EG，FG=FC，锐角利用等线段代换可得四边形AEFD的周长=AB+CD+AD=3a；
（2）作FH⊥BE于H，如图，则四边形BCFH为矩形，HF=BC=a，BH=FC，在Rt△EHF中利用含30度的直角三角形三边的关系得到EH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$FH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，EF=2EH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，接着利用等线段代换得到四边形EBCF的周长=2EF+BC，于是得到四边形EBCF的周长=$\frac{4\sqrt{3}+3}{3}$a．

解答 解：（1）∵以BC为直径向正方形内画半圆，EF切半圆于点G，
∴BA、CD都与半圆相切，
∴EB=EG，FG=FC，
∴四边形AEFD的周长=AE+EF+DF+AD=AE+EG+GF+DF+AD=AE+EB+FC+FD+AD=AB+CD+AD=3a；
（2）作FH⊥BE于H，如图，则四边形BCFH为矩形，HF=BC=a，BH=FC，
在Rt△EHF中，∵∠BEF=60°，
∴EH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$FH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，EF=2EH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴四边形EBCF的周长=EB+EF+CF+BC
=EG+EF+FG+BC
=2EF+BC
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$a+a
=$\frac{4\sqrt{3}+3}{3}$a．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了切线长定理和正方形的性质．