如图.在平面直角坐标中.直线y=-x+2交x轴于点A.交y轴于点B.过点A的抛物线y=ax2+bx-2与y轴交于点C.与直线AB的另一个交点为D.点E是射线BA上一点.点F在抛物线上.且EF∥y轴.设点E的横坐标为m．(1)用含a的代数式表示b．(2)当点D的横坐标为8时.求a的值．的条件下.设△ABF的面积为S.当S随m的增大而减小时.求S与m之间的函数关系式．(4)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在平面直角坐标中，直线y=-x+2交x轴于点A，交y轴于点B，过点A的抛物线y=ax²+bx-2与y轴交于点C，与直线AB的另一个交点为D，点E是射线BA上一点（不与点A、B重合），点F在抛物线上，且EF∥y轴，设点E的横坐标为m．
（1）用含a的代数式表示b．
（2）当点D的横坐标为8时，求a的值．
（3）在（2）的条件下，设△ABF的面积为S（S＞0），当S随m的增大而减小时，求S与m之间的函数关系式．
（4）当以C、B、E、F为顶点的图形是轴对称图形时，直接写出点F的坐标．

分析（1）求出点A的坐标，代入抛物线的解析式即可解决问题．
（2）根据条件求出点D的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（3）分两种情形①0＜m＜2时．②如图1中，设过点F平行AB的直线为y=-x+n，作FH⊥AD于H．由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+n}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x-2}\end{array}\right.$消去y得x²-10x+4n+8=0，当直线与抛物线只有一个交点时，设这个交点为Q，△=0，100-16n-32=0，解得n=$\frac{17}{4}$，此时方程组是解为$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，推出Q（5，-$\frac{3}{4}$），所以当点F在抛物线上Q、D之间时，当S随m的增大而减小时，根据S=$\frac{1}{2}$•AB•FH计算即可．
（4）分三种情形分别求解即可．

解答解：（1）∵直线y=-x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（2，0），B（0，2），
∵抛物线y=ax²+bx-2经过点A，
∴4a+2b-2=0，
∴b=-2a+1．

（2）点D的横坐标为8，
x=8时，y=-8+2=-6，
∴D（8，-6），
把点D（8，-6）代入y=ax²+bx-2得到-6=64a+8b-2，
把b=-2a+1代入得-6=64a-16a+8-2，解得a=-$\frac{1}{4}$，b=$\frac{3}{2}$，
∴a=-$\frac{1}{4}$．

（3）①当点E在点A左侧时，0＜m＜2时，易知S=$\frac{1}{2}$[（-m+2）-（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m-2）]×2=$\frac{1}{4}$m²-$\frac{5}{2}$m-4．
②如图1中，设过点F平行AB的直线为y=-x+n，作FH⊥AD于H．

由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+n}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x-2}\end{array}\right.$消去y得x²-10x+4n+8=0，
当直线与抛物线只有一个交点时，设这个交点为Q，△=0，100-16n-32=0，解得n=$\frac{17}{4}$，
此时方程组是解为$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴Q（5，-$\frac{3}{4}$），
当点F在抛物线上Q、D之间时，当S随m的增大而减小时，
∵A（2，0），B（0，2），
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∵F（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m-2），E（m，-m+2），
∴EF=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{5}{2}$m-4，易知△EFH是等腰直角三角形，
∴FH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{5}{2}$m-4），
∴S=$\frac{1}{2}$•AB•FH=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{5}{2}$m-4（5≤m≤8）．

（4）①如图2中，当△BCD是等腰直角三角形时，BC=CD=4，∠BCD=90°，易知F（4，-2）．
②如图3中，当四边形BCFE是菱形时，易知F（2$\sqrt{2}$，-2-2$\sqrt{2}$）．
③如图4中，当D、E、F重合，BC=BD时，易知F（2$\sqrt{2}$.2-2$\sqrt{2}$）．

点评本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的性质、一元二次方程的根的判别式、轴对称图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

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