Question

如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AD∥BC，E是AB的中点，BE=AD．
（1）试说明：CE⊥BD；
（2）线段AC与ED之间存在什么关系？为什么？
（3）判断△BDC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用全等的性质∠ABD=∠BCE，然后利用等价变换的知识可得出∠BFC=90°，从而即可得出答案．
（2）根据AC垂直平分DE，E是AB中点及AD∥BC可得出AC与ED之间存在的关系．
（3）根据等腰三角形及中垂线的性质即可作出判断．

解答：解：（1）∵等腰直角△ABC，∠ABC=90°
∴AB=BC，∠ACB=∠CAB=45°
∵AD∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180°∴∠DAB=90°
∴∠DAB=∠ABC=90°
在△ABD和△BCE中，

AD=BE ∠DAB=∠EBC AB=BC

∴△ABD≌△BCE（SAS）
∴∠ABD=∠BCE，
∵∠ABC=90°
∴∠ABD+∠CBD=90°
∴∠BCE+∠CBD=90°
∵△BCF中，∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°
∴∠BFC=90°，
∴CE⊥BD．

（2）AC垂直平分DE，
∵E是AB中点，
∴AE=BE，
∵BE=AD，
∴AD=AE，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=45°，
∴∠DAC=∠CAE=45°，
∵AD=AE，∠DAC=∠CAE，
∴AC垂直平分DE．
（3）△BDC是等腰三角形，
∵AC垂直平分DE，
∴CD=CE，
∵△ABD≌△BCE，
∴BD=CE，
∴BD=CD，
∴△BCD是等腰三角形．

点评：本题考查等腰三角形的性质及中垂线的性质，难度较大，注意熟练掌握一些基本性质，这是解答此类综合题得基础．