Question

已知如图，D是△ABC的边AB上一点，E是AC上一点，DE的延长线交BC的延长线于F，∠ADE＝∠ACB，求证：．

Answer 1

答案：
解析：

分析：不能直接证明三角形相似得到所证结论．需添加辅助线寻找过渡比． 　　思路1　作DG∥BC交AC于G(下图)，由∠AGD＝∠ACB＝∠ADE及∠DAG＝∠EAD知△ADG∽△AED，于是，又，所以． 　　思路2　作DH∥AC交BC于H(下图)，由∠DHB＝∠ACB＝∠ADE及∠BDH＝∠EAD知△BDH∽△EDA，于是，又∠FHD＝∠FDB(等角的补角相等)及∠HFD＝∠DFB知△FHD∽∠FDB，于是，又，所以． 　　思路3　作EI∥AB交BC于I(下图)，则∠FDB＝∠FEI，由∠ADE＝∠ACB及∠A＝∠CEI知△ADE∽△ECI，于是，又由∠FCE＝∠FDB(等角的补角相等)知∠FEI＝∠FCE，∠F为公共角，△FEI∽∠FCE，于是，所以． 　　思路4　作EJ∥CB交AB于J(下图)，由∠ADE＝∠ACB＝∠AEJ及∠DAE＝∠EAJ知△ADE∽△AEJ，于是，又由∠EDJ＝∠FCE(等角的补角相等)，∠DEJ＝∠F知，所以． 　　思路5　作CK∥BA交DF于K(下图)，则∠FDB＝∠FKC且；由∠FCE＝∠FDB(等角的补角相等)知∠FCE＝∠FKC，∠F为公共角，△FKC∽△FCE，于是，所以． 　　思路6　作CL∥FD交AB于L(下图)，则∠CLB＝∠FDB，，由∠ADE＝∠ACB及∠LAC＝∠CAB知△LAC∽△CAB，于是，由∠FDB＝∠FCE(等解的补角相等)知∠CLB＝∠FCE，又∠LCB＝∠CFE，得到△CLB∽△FCE，于是，所以． 　　思路7　作AM∥FB交FD的延长线于M(下图)，由∠MDA＝∠MAE(等角的补角相等)及∠DMA＝∠AME知△MDA∽MAE，于是＝又，＝，所以． 　　思路8　作AN∥DF交BF的延长线于N(下图)，由∠ADE＝∠ACB及∠DAE＝∠CAB知△ADE∽△ACB，于是＝，由∠NCA＝∠NAB(等角的补角相等)及∠ANC∠BNA知△NAC∽△NBA，于是＝，又＝所以，． 　　思路9　作BP∥CA交FD的延长线于P(下图)，则＝，由∠FDB＝∠FBP(等角的补角相等)及∠DFB＝∠BFP知△FDB∽△FBP，于是＝，由∠FDB＝∠FCE(等角的补角相等)及∠DFB＝∠CFE知△FDB∽△FCE，于是＝，所以＝． 　　思路10　作BQ∥DF交AC的延长线于Q(下图)，则＝，且∠ADE＝∠ABQ，由∠ADE＝∠ACB知∠ACB＝∠ABQ，又∠CAB＝∠BAQ，得到△ACB∽△ABQ，于是＝，又＝，所以＝． 　　思路11　作FS∥CA交BA的延长线于S(下图)，则＝，且∠ACB＝∠SFB，由∠ADE＝∠ACB知∠ADE＝∠SFB，又∠DSF＝∠FSB，得到△SDF∽△SFB，于是＝，由∠FDB＝∠FCE(等角的补角相等)及∠DFB＝∠CFE知△DFB∽△CFE，于是＝，所以＝． 　　思路12　作FT∥AB交AC的延长线于T(下图)，则＝，且∠ADE＝∠TFE，又由∠ADE＝∠ACB＝∠TCF知∠TCF＝∠TFE，∠T为公共角，得到△TCF∽△TFE，于是＝，所以＝．