Question

【题目】已知：如图，是⊙的直径，为⊙外一点，，垂足为，弦，且，．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）求⊙的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）⊙的半径为．

【解析】

（1）连接OC，要证明PC是⊙O的切线只要证明∠OCP=90°即可，利用已知条件可以证明△PCO≌△PAO，即可得到∠OCP=∠OAP=90°；
（2）在Rt△AOP中根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．

（1）证明：如图，连接OC，

∵BC∥OP，
∴∠B=∠POA，∠BCO=∠COP，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴∠COP=∠AOP；
∵OC=OA，OP=OP，
∴△PCO≌△PAO（SAS），
∴∠OCP=∠OAP=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠APC=60°，

由（1）可得△PCO≌△PAO，∴∠OPA=∠OPC，
∴∠OPA=30°，
∵∠PAO=90°，AP=2，
∴OP=2OA，

根据勾股定理可得OA=2，
即⊙O的半径为2．