Question

19．如图，已知抛物线y=ax²-3ax-4a（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，∠ACB=90°，点D 的坐标为（0，3）
（1）求A、B、C的坐标及a的值；
（2）直线l经过点D，与抛物线交于M、N，若MN²=DM•DN，求直线l的解析式；
（3）过点D 作直线DH⊥OD，P为直线DH上的一动点．是否存在点P，使sin∠OPB的值最大？若存在，求出此时sin∠OPB的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0，即可求出点A、B坐标，再求出点C坐标代入抛物线解析式即可求出a．
（2）如图1，作ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F，则ME∥NF，设直线 l 的解析式为y=kx+3（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），列出方程组消去y，根据根与系数关系以及EF²=OE•OF，列出方程即可解决问题．
（3）法一：存在点P，使sin∠OPB的值最大，当QP⊥DH时，QP最小，此时⊙Q与DH相切于点P（如图3），求出OQ即可．
法二：存在点P，使sin∠OPB的值最大，如图4，作OB的中垂线PG⊥OB，交DH于P，交OB于G，则△OPB的外接圆⊙Q切DH于P，此时∠OPB最大，求出OQ即可．

解答 解：（1）令y=0，得ax²-3ax-4a=0
∴x₁=-1，x₂=4
∴A（-1，0）、B（4，0）
∵OC⊥AB，AC⊥BC
∴OC²=OA•OB=4
∴OC=2
∴C（0，2），代入y=ax²-3ax-4a得a=-$\frac{1}{2}$．
（2）如图1，作ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F，则ME∥NF，
∴$\frac{MN}{DM}$=$\frac{EF}{OE}$，$\frac{MN}{DM}$=$\frac{EF}{OF}$，
又MN²=DM•DN
∴EF²=OE•OF，设直线 l 的解析式为y=kx+3（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$消去y得x²-（3-2k）x+2=0，
∴x₁+x₂=3-2k，x₁x₂=2，
∵（x₁-x₂）²=x₁x₂，
∴（x₁+x₂）²=5x₁x₂，
∴（3-2k）²=10，
∴k=$\frac{3±\sqrt{10}}{2}$，
∴直线 l 的解析式为：y=$\frac{3+\sqrt{10}}{2}$x+3或y=$\frac{3-\sqrt{10}}{2}$x+3，
（3）法一：存在点P，使sin∠OPB的值最大，
如图2，设∠POB的外接圆为⊙Q，QG是弦心距，则∠OQG=∠OPB，
在Rt△OQG中，OG为定值，
当⊙Q的半径最小时，∠BOG最大，
当QP⊥DH时，QP最小，此时⊙Q与DH相切于点P（如图3），
由OQ²=OG²+QG²，得OQ²=2²+（3-OQ）²，
解得OQ=$\frac{13}{6}$，
∴sin∠OPB=$\frac{2}{\frac{13}{6}}$，=$\frac{12}{13}$．
法二：存在点P，使sin∠OPB的值最大，
如图4，作OB的中垂线PG⊥OB，交DH于P，交OB于G，则△OPB的外接圆⊙Q切DH于P，
设点P′是DH边上不同于点P的另一点，BP′交⊙Q于K，连接P′B，
∵∠OPB=∠OKB，∠OKB＞∠OP'B，
∴∠OPB＞OP'B，即∠OPB最大；
在Rt△PBG中，PB=$\sqrt{P{G}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
作OT⊥PB于点T，由S_△OPB=$\frac{1}{2}$OB•PG=$\frac{1}{2}$PB•OT，
得OT=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$，
∴sin∠OPB=$\frac{\frac{12\sqrt{13}}{13}}{\sqrt{13}}$=$\frac{12}{13}$．

点评 本题考查二次函数综合题、根与系数关系、勾股定理、平行线分线段成比例定理、圆、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用根与系数的关系构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，构造圆解决问题，属于中考压轴题．