Question

17．小敏在作⊙O的内接正五边形时．先做了如下几个步骤：
（1）如图①．作⊙O的两条互相垂直的直径AC，BD．再作OA的垂直平分线交OA于点M；
（2）如图②．以点M为圆心．BM长为半径作圆弧．交CA于点F．连接BF．就得到⊙O的内接正五边形的边长a．若⊙O的半径为1．则a²的值是$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 首先连接BM，根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，然后由勾股定理可求得BM与OD的长，继而求得BD²的值．

解答 解：如图2，连接BM，
根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，
∵OA的垂直平分线交OA于点M，
∴OM=AM=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，
∴BM=$\sqrt{M{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴DM=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴OD=DM-OM=$\frac{\sqrt{5}}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴BD²=a²=OD²+OB²=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分母有理化的知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．