Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D。

（1）求证:AB是⊙O的切线；
（2）若CD的弦心距为1,BE=EO.求BD的长.

Answer 1

（1）证明见解析（2）

（1）证明：如图，连接OD，
∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC。
又∵∠DOB和∠DCB为弧所对的圆心角和圆周角，
∴∠DOB =2∠DCB。
又∵∠A=2∠DCB，∴∠A=∠DOB。
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°。∴∠DOB+∠B=90°。∴∠BDO=90°。∴OD⊥AB。
∴AB是⊙O的切线。
（2）如图，过点O作OM⊥CD于点M，
∵OD=OE=BE=BO，∠BDO=90°，∴∠B=30°。∴∠DOB=60°。
∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC。
又∵∠DOB和∠DCB为弧所对的圆心角和圆周角，∴∠DOB =2∠DCB。
∴∠DCB=30°。
∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，∴OC=2OM=2。
∴OD=2，BO=BE+OE=2OE=4。
∴在Rt△BDO中，根据勾股定理得：。
（1）连接OD，由OD=OC，根据等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，可得出∠DOB=2∠DCB。又∠A=2∠DCB，可得出∠A=∠DOB，又∠ACB=90°，可得出直角三角形ABC中两锐角互余，等量代换可得出∠B与∠ODB互余，即OD垂直于BD，确定出AB为圆O的切线。
（2）过O作OM垂直于CD，根据垂径定理得到M为DC的中点，由BD垂直于OD，得到三角形BDO为直角三角形，再由BE=OE=OD，得到OD等于OB的一半，可得出∠B=30°，从而确定出
∠DOB=60°，又OD=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，可得出∠DOB=2∠DCB。可得出∠DCB=30°，在三角形CMO中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到OC=2OM，由弦心距OM的长求出OC的长，从而确定出OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长。
本题另解：如图，过O作OM垂直于CD，连接ED，
由垂径定理得到M为CD的中点，又O为EC的中点，得到OM为三角形EDC的中位线，利用三角形中位线定理得到OM等于ED的一半，由弦心距OM的长求出ED的长，再由BE=OE，得到ED为直角三角形DBO斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由DE的长求出OB的长，再由OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长。