Question

6．如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值．

Answer 1

分析 （1）连接DO，DB，由圆周角定理就可以得出∠ADB=90°，可以得出∠CDB=90°，根据E为BC的中点可以得出DE=BE，就有∠EDB=∠EBD，OD=OB可以得出∠ODB=∠OBD，由等式的性质就可以得出∠ODE=90°就可以得出结论．
（2）作EF⊥CD于F，设EF=x，由∠C=45°，得出△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得BE=CE=$\sqrt{2}$x，AB=BC=2$\sqrt{2}$x，AE=$\sqrt{10}$x，进而就可求得sin∠CAE的值．

解答 解：（1）连接OD，BD，
∴OD=OB
∴∠ODB=∠OBD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°．
∵E为BC的中点，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，
即∠EDO=∠EBO．
∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠EBO=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）作EF⊥CD于F，设EF=x
∵∠C=45°，
∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，
∴CF=EF=x，
∴BE=CE=$\sqrt{2}$x，
∴AB=BC=2$\sqrt{2}$x，
在RT△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，
∴sin∠CAE=$\frac{EF}{AE}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了圆周角定理的运用，直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，切线的判定定理的运用，勾股定理的运用，解答时正确添加辅助线是关键．