Question

已知关于x的一元二次方程x²-2x+m-2=0．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围．
（2）设x₁，x₂为方程的两个非负实数根，求x₁²+x₂²的最大值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-2）²-4（m-2）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2，x₁•x₂=m-2≥0，再利用完全平方公式得x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=-2m+8，然后根据m的取值范围确定代数式的最大值．

解答：解：（1）根据题意得△=（-2）²-4（m-2）≥0，
解得m≤3；
（2）根据题意得x₁+x₂=2，x₁•x₂=m-2≥0，
所以x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂
=4-2（m-2）
=-2m+8，
∵m≤3且m-2≥0，
∴2≤m≤3，
∴当m=2时，x₁²+x₂²的最大值为4．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．