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如图,已知点P是线段AB上一动点(不与端点A,B重合),△APC和△PBD都是等边三角形,连接AD、BC交于点I,并与PC、PD交于点E、F,则有下列结论:①AD=BC;②等边△PEF;③∠CID=120°;④∠ECF=∠EDF,其中正确的有(  )
分析:根据SAS定理得出△APD≌△CPB,由全等三角形的性质即可得出AD=BC,故①正确;由平角的定义可得出∠EPF=60°,再根据SAS定理可得出△APE≌△CPF,故可得出PE=PF,即△PEF是等边三角形,故②正确;由①可知∠PAD=∠PCB,故∠CAE+∠ACP=∠CAP+∠ACP=120°,因为∠CID是△ACI的外角,故∠CID=∠CAE+∠ACP=120°,故③正确;由于AP≠PD,所以∠PAE≠∠EDF,由①知,∠PAD=∠ECF,故∠ECF≠∠EDF,故④错误.
解答:解:∵△APC和△PBD都是等边三角形,
∴AP=PC,PD=PB,∠APC=∠BPD=60°,
∴∠APD=∠BPC=120°,
在△APD与△CPB中,
PD=PB
∠APD=∠BPC
AP=PC

∴△APD≌△CPB(SAS),
∴AD=BC,故①正确;
∵∠APC=∠BPD=60°,
∴∠EPF=60°,
∵△APD≌△CPB,
∴∠PAE=∠PCF,
在△APE与△CPF中,
∠PAE=∠PCF
PA=PC
∠APC=∠CPD

∴△APE≌△CPF(ASA),
∴PE=PF,即△PEF是等边三角形,故②正确;
∵由①可知∠PAD=∠PCB,
∴∠CAE+∠ACP=∠CAP+∠ACP=120°,
∵∠CID是△ACI的外角,
∴∠CID=∠CAE+∠ACP=120°,故③正确;
∵AP≠PD,
∴∠PAE≠∠EDF,由①知,∠PAD=∠ECF,
∴∠ECF≠∠EDF,故④错误.
故选C.
点评:本题考查的是全等三角形的判定与性质,熟知SAS,ASA,SSS,HL等判定定理是解答此题的关键.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知点P是线段AB的黄金分割点,且AB=
5
+1
,则AP=
 

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如图,已知点C是线段AD的中点,AB=10cm,BD=4cm,则BC=
7
7
cm.

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如图,已知点M是线段AB的中点,N是线段AM上的点,且满足AN:MN=1:2,若AN=2cm,则线段AB=(  )

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如图,已知点C是线段AB上一点,点M,N分别是线段AC,BC的中点,则MN=
1
2
AB,小明对这个问题做了进一步的探究,并得出了相应的结论:
(1)若点C是线段AB延长线上一点,其余条件不变,则MN=
1
2
AB;
(2)若点C是线段AB反向延长线上一点,其余条件不变,则MN=
1
2
AB.
在上述结论中(  )

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知点C是线段AB的中点,且AC=3,则AB的长为(  )
A、
3
2
B、3
C、6
D、12

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