Question

16．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AC上一点，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，点F是AB垂直平分线上一点，连接BF、EF．
（1）若AD=6$\sqrt{2}$，tan∠BCE=$\frac{3}{10}$，求AB的长；
（2）如图1，当点F在AC边上时，求证：CE-BE=$\sqrt{2}$EF；
（3）如图2，若∠BDC=75°，当∠AFB=30°时，直接写出（$\frac{EF}{EC}$）²的值．

Answer 1

分析 （1）先过点D作DM⊥AB于点M，构造等腰直角三角形，求得DM=AM=$\frac{AD}{\sqrt{2}}$=6，再根据∠ABD=∠BCE，得出tan∠BCE=tan∠ABD=$\frac{DM}{BM}$=$\frac{3}{10}$，求得BM=20，进而根据AB=AM+BM进行计算；
（2）在CE上截取CN=BE，连接FN，先判定△BEF≌△CFN，得出△EFN是等腰直角三角形，得到EN=$\sqrt{2}$EF，再根据EN=CE-CN，得出CE-BE=$\sqrt{2}$EF；
（3）先延长BD交AC于G，作EH⊥BF于H，设CE与BF交于I，连接GI，构造等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，再设BE=a，得出BG=2a，CE=$\sqrt{3}$a，EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=HI，GI=$\sqrt{2}$a，并求得HF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\sqrt{6}$a，最后在Rt△EFH中，得出EF²=（7+2$\sqrt{3}$）a²，计算（$\frac{EF}{EC}$）²的值即可．

解答 解：（1）如图1，过点D作DM⊥AB于点M，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠A=45°，
∴AM=DM，
∵AD=6$\sqrt{2}$，
∴DM=AM=$\frac{AD}{\sqrt{2}}$=6，
∵CE⊥BD，
∴∠BEC=90°=∠ABC，
∴∠BCE+∠EBC=90，∠EBC+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠BCE，
∴tan∠BCE=tan∠ABD=$\frac{DM}{BM}$=$\frac{3}{10}$，即$\frac{6}{BM}=\frac{3}{10}$，
∴BM=20，
∴AB=AM+BM=6+20=26；

（2）∵F是AB的垂直平分线上的点，
∴AF=BF，
∴∠A=∠ABF=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠FBC=45°，
∴∠FBC=∠FCB，且∠ABD=∠BCE，
∴BF=CF，∠EBF=∠ECF，
如图1，在CE上截取CN=BE，连接FN，
∵BF═CF，∠EBF=∠ECF，
∴△BEF≌△CFN，
∴FN=EF，∠BFE=∠CFN，
∵∠FCB=∠FBC=45°，
∴∠BFC=90°，
∴∠CFN+∠BFN=90°，
∴∠BFE+∠BFN=90°，
∴∠EFN=90°，且EF=FN，
∴△EFN是等腰直角三角形，
∴EN=$\sqrt{2}$EF，
∵EN=CE-CN，
∴CE-BE=$\sqrt{2}$EF；

（3）（$\frac{EF}{EC}$）²=$\frac{7+2\sqrt{3}}{3}$．
理由：如图2，延长BD交AC于G，作EH⊥BF于H，设CE与BF交于I，连接GI，
∵∠AFB=30°，点F是AB垂直平分线上一点，
∴∠BAF=∠ABF=75°，
∵∠BDC=75°=∠ADG，∠DAG=75°-45°=30°，
∴∠AGB=75°，
∴AB=GB，
∵△ABG中，∠ABD=180°-75°×2=30°，
∴∠GBF=75°-30°=45°，且∠CBE=60°，
∵CE⊥BE，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BG=EG，
∴IE垂直平分BG，即IG=IB，
∴∠BGI=∠IBG=45°，即GI⊥BI，
设BE=a，则BG=2a，CE=$\sqrt{3}$a，EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=HI，GI=$\sqrt{2}$a，
∵∠GFI=30°，
∴Rt△FGI中，FI=$\sqrt{3}$GI=$\sqrt{6}$a，
∴HF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\sqrt{6}$a，
∴Rt△EFH中，EF²=EH²+HF²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\sqrt{6}$a）²=（7+2$\sqrt{3}$）a²，
∴$（\frac{EF}{EC}）^{2}=\frac{E{F}^{2}}{E{C}^{2}}$=$\frac{（7+2\sqrt{3}）{a}^{2}}{（\sqrt{3}a）^{2}}$=$\frac{7+2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形、等腰直角三角形和30°角的直角三角形，需要运用勾股定理进行计算和推导．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．