Question

【题目】已知：如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F．

求证：CD＝AE＝BF．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

连接AC、BD，由C，D是的三等分点，可得AC=CD=BD，∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，利用SAS可证明△AOC≌△COD，即可得出∠ACO=∠OCD，根据等腰三角形的性质可得∠OEF＝∠OCD，可证明CD//AB，可得∠AEC＝∠OCD，即可证明∠ACO＝∠AEC．可得AC=AE，同理可证BD=BF，进而可证明CD＝AE＝BF．

连接AC、BD，

∵OA⊥OB，

∴∠AOB=90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

∵C，D是的三等分点，

∴AC=CD=BD，∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，

∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，

∴△AOC≌△COD，

∴∠ACO=∠OCD，

∵∠OEF＝∠OAE+∠AOE＝45°+30°＝75°，∠OCD==75°，

∴∠OEF＝∠OCD，

∴CD∥AB，

∴∠AEC＝∠OCD，

∴∠ACO＝∠AEC．

故AC＝AE，

同理，BF＝BD．

又∵AC＝CD＝BD

∴CD＝AE＝BF．