Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度???为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．

Answer 1

解：（1）∵AQ=3-t，
∴CN=4-（3-t）=1+t．
在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²=3²+4²，
∴AC=5．
在Rt△MNC中，cos∠NCM==，CM=；

（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形，
∴PC=QD，即4-t=t，
解得t=2．

（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：
MC+NC=AM+BN+AB，
即：（1+t）+1+t=（3+4+5），
解得：t=．
而MN=NC=（1+t），
∴S_△MNC=（1+t）²=（1+t）²，
当t=时，S_△MNC=（1+t）²=≠×4×3．
∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分；

（4）①当MP=MC时；则有：NP=NC，
即PC=2NC∴4-t=2（1+t），
解得：t=；
②当CM=CP时；则有：（1+t）=4-t，
解得：t=；
③当PM=PC时；则有：在Rt△MNP中，PM²=MN²+PN²，
而MN=NC=（1+t），
PN=|PC-NC|=|（4-t）-（1+t）|=|3-2t|，
∴[（1+t）]²+（3-2t）²=（4-t）²，
解得：t₁=，t₂=-1（舍去）
∴当t=，t=，t=时，△PMC为等腰三角形．
分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；
（2）四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；
（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MC+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．
（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：
①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．
②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．
③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．
综上所述可得出符合条件的t的值．
点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．