Question

对于任意两个二次函数：y₁=a₁x²+b₁x+c₁，y₂=a₂x²+b₂x+c₂，（a₁a₂≠0），当|a₁|=|a₂|时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线．
现有△ABM，A（-1，0），B（1，0）．记过三点的二次函数抛物线为“C_□□□”（“□□□”中填写相应三个点的字母）
（1）若已知M（0，1），△ABM≌△ABN（0，-1）．请通过计算判断C_ABM与C_ABN是否为全等抛物线；
（2）在图2中，以A、B、M三点为顶点，画出平行四边形．
①若已知M（0，n），求抛物线C_ABM的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与C_ABM全等的抛物线解析式．
②若已知M（m，n），当m，n满足什么条件时，存在抛物线C_ABM根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与C_ABM全等的抛物线？若存在，请列出所有满足条件的抛物线“C_□□□”；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）应该是全等抛物线，由于这两个抛物线虽然开口方向不同，但是开口大小一样，因此二次项的绝对值也应该相等．可用待定系数法求出两抛物线的解析式，然后进行判断即可．
（2）与（1）相同都是通过构建平行四边形来得出与△ABM全等的三角形，那么过与△ABM全等的三角形的三个顶点的抛物线都是与C_ABM全等的抛物线．

解答：解：（1）设抛物线C_ABM的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线C_ABM过点A（-1，0），B（1，0），M（0，1），

0=a-b+c 0=a+b+c 1=c

a=-1 b=0 c=1

∴抛物线C_ABM的解析式为y=-x²+1，
同理可得抛物线C_ABN的解析式为y=x²+1，
∵|-1|=|1|，
∴C_ABM与C_ABN是全等抛物线．

（2）①设抛物线C_ABM的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线C_ABM过点A（-1，0），B（1，0），M（0，n），

0=a-b+c 0=a+b+c n=c

抛物线C_ABM的解析式为y=-nx²+n，
与C_ABM全等的抛物线有：
y=nx²-n，y=n（x-1）²，y=n（x+1）²
②当n≠0且m≠±1时，存在抛物线C_ABM，与C_ABM全等的抛物线有：C_ABN，C_AME，C_BMF．

点评：本题是函数与几何结合的综合题，解题关键是善于利用几何图形的性质以及函数的性质和定理等知识，主要考查学生数形结合的数学思想方法．