Question

3．如图，抛物线与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＞x₂，与y轴交于点C（0，4），其中x₁、x₂是方程x²-2x-8=0的两个根．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE面积最大时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先通过解方程求出A，B两点的坐标，然后根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）本题要通过求△CPE的面积与P点横坐标的函数关系式，再根据函数的性质来求△CPE的面积的最大值以及对应的P的坐标．△CPE的面积无法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出BP的长，可通过相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中BP边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出△CEP的面积，然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值．

解答 解：（1）∵x²-2x-8=0，
∴（x-4）（x+2）=0．
∴x₁=4，x₂=-2．
∴A（4，0），B（-2，0）．
又∵抛物线经过点A、B、C，设抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{16a+4b+c=0}\\{4a-2b+c=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\\{c=1}\end{array}\right.$．
∴所求抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4．

（2）如图所示：设P点坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．
∵点B坐标为（-2，0），点A坐标（4，0），
∴AB=6，BP=m+2．
∵PE∥AC，
∴△BPE∽△BAC．
∴$\frac{BP}{AB}$=$\frac{EG}{CO}$．
∴$\frac{m+2}{6}$=$\frac{EG}{4}$，
∴EG=$\frac{2m+4}{3}$．
∴S_△CPE=S_△CBP-S_△EBP
=$\frac{1}{2}$BP•CO-$\frac{1}{2}$BP•EG
∴S_△CPE=$\frac{1}{2}$（m+2）（4-$\frac{2m+4}{3}$）
=-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m+$\frac{8}{3}$．
∴S_△CPE=-$\frac{1}{3}$（m-1）²+3．
又∵-2≤m≤4，
∴当m=1时，S_△CPE有最大值3．
此时P点的坐标为（1，0）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图形面积的求法、三角形相似等知识点，利用数形结合的数学思想方法得出P点坐标是解题关键．