Question

11．如图，已知直线y=$\frac{1}{2}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）相交于A、B两点，且点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）若双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）根据图象直接写出：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．

Answer 1

分析 （1）将x=4代入一次函数解析式求出y的值，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）将C纵坐标代入反比例解析式求出横坐标，确定出C坐标，即CD与OD的长，三角形AOC面积=三角形COD面积+梯形AEDC面积-三角形AOE面积，求出即可；
（3）观察函数图象得到当x＜-4或0＜x＜4时，反比例函数的图象都在一次函数的图象上方．

解答 解：（1）将x=4代入y=$\frac{1}{2}$x，得y=2，
∴点A的坐标为（4，2），
∴2=$\frac{k}{4}$，得k=8，
即k的值是8；
（2）由（1）知，k=8，
∴y=$\frac{8}{x}$，
将y=8，代入y=$\frac{8}{x}$，得x=1，
∴点C的坐标为（1，8），
∴OD=1，CD=8，
∵A（4，2），
∴OE=4，AE=2，
∵S_△AOC=S_△COD+S_梯形AEDC-S_△AOE=$\frac{1}{2}$×1×8+$\frac{1}{2}$×（2+8）×3-$\frac{1}{2}$×4×2=15；
（3）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-4}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∴B点的坐标是（-4，-2），
由函数的图象知，当x＜-4或0＜x＜4时，
反比例函数的值大于一次函数的值．

点评 此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，三角形、梯形的面积，反比例函数与一次函数的交点问题，比较函数值大小，以及待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．