Question

【题目】如图，△ABC和△ADE中，AB=AD，BC=DE，∠B=∠D，边AD与边BC交于点P(不与点B、C重合)，点B、E在AD异侧，I为△APC的内心(三条角平线的交点) ．

（1）求证：∠BAD=∠CAE；

（2）当∠BAC=90°时,

①若AB=16，BC=20时，求线段PD的最大值；

②若∠B=36°，∠AIC的取值范围为m°<∠AIC<n°，求m、n的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②，

【解析】

（1）运用已知条件，依据SAS可证，从而可得，减去重合部分，即得所求证；

（2）①，，当时，最小，=最大，运用等面积法求出，即可得出结论；

②用三角形内角和定理求出,运用内心，求出,设，则可用α表示，根据三角形内角和定理，∠AIC也可用α表示，由于，所以∠AIC的取值范围也能求出来.

（1）证明：在与中

，

（SAS）

即

（2）①中，，

由勾股定理，得

，而．

当时，最小，最大，

此时，，即，

解得，

的最大值

②如图，，，，则，．

为的内心，

、分别平分，，

，，

又，，

即，

，．