Question

用一副三角板拼成如图①所示的四边形ABCD，其中∠ADC=∠ACB=90°，∠B=60°，AD=DC=4

2

cm．若把△ADC的顶点C沿CB所在射线滑动，顶点A始终不离开AC，如图②所示，当点D运动到与C点重合时，即停止运动，如图③所示．

（1）如图②所示，C′D与AC交于点M，求证：△CC′M∽△A′DM；
（2）运动结束时（如图③）的顶点A沿AC下滑了多少？
（3）△ADC在滑动过程中，△CC′M与△A′DM能否全等？如果能，求此时AA′的长；如果不能，请说明理由；
（4）△ADC在滑动过程中，A′C′与AB能否平行？如果能，求此时AA′的长；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）所求的两个三角形中，已知对顶角∠C′MC=∠A′MD，一组直角∠C=∠D=90°，即可证得所求的结论．
（2）在Rt△ADC中，易求得斜边AC的长，那么AC、AD的差即为A点下滑的距离．
（3）若两个三角形全等，那么C′M=A′M，此时∠MC′A′=∠MA′C′，即∠MA′C′=45°，显然∠MA′C′＜45°，因此两个三角形不可能全等．
（4）当∠MC′C=∠DA′M=15°时，∠A′C′D=60°，∠C′A′C=30°，此时A′C′∥AB；在Rt△A′C′C中，根据∠A′C′C的度数及A′C′（即AC）的长，可求得A′C的值，进而可由AA′=AC-A′C得解．

解答：解：（1）如图②，∵∠C=∠D=90°，∠CMC′=∠DMA′，
∴△CC′M∽△A′DM．（2分）

（2）如图①，在Rt△ACD中，∠D=90°，AD=DC=4

2

cm，∴AC=8cm；（4分）
如图③，AA′=AC-A′D=（8-4

2

）cm．（5分）

（3）不可能全等．（6分）
理由如下：根据对应关系可知，如果全等必为△CC′M≌△A′DM，
即C′M=A′M，则∠C′A′M=∠A′C′M=45°；
∵∠MA′C′＜45°，∴不可能全等．（8分）

（4）A′C′与AB能平行．（9分）
∵AC′∥AB，
∴∠A′C′M=∠B=60°，则A′C=4

3

cm；
∴AA′=AC-A′C=（8-4

3

）cm．（12分）

点评：此题考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的性质以及平行线的判定等知识，难度适中．