Question

已知一个边长为a的正方形内部可以放置五个半径为1的圆（圆可以与正方形的边相切），使得任意两个圆至多只有一个公共点，求a的最小值．

Answer 1

分析：根据半径为a的正方形内部放置了五个半径为1的圆，可以求得正方形的对角线的长，据此可以求得a的最小值．

解答：解：如图所示，当正方形内的五个圆按图中的方式放置时，

正方形的边长a=2+2

2

，它表明当正方形的边长为 2+2

2

时，
放置正方形内部的五个半径为1的圆可以满足任意两个圆至多只有一个公共点．（6分）
另一方面，在边长为a 的正方形ABCD中不重叠地放置五个半径为1 的圆O₁、O₂、O₃、O₄、O₅，
则O₁、O₂、O₃、O₄、O₅一定都落在与ABCD各边距离都为1的且在ABCD内部的正方形EFHG的边界或内部，（10分）
将正方形EFHG分割成四个全等的正方形区域1、2、3、4，
则O₁、O₂、O₃、O₄、O₅中必有两点落在同一区域中，（16分）
由于每两点间的距离不小于2，
则小正方形区域对角线长

2

×

a-2

2

≥2，
即a≥2

2

+2，
所以，a的最小值是2+2

2

．（20分）

点评：本题考查了相切两圆的性质，解决本题的关键是正确地作出图形．