Question

20．如图，过△ABC的边BC的中点M作直线垂直于∠A的平分线AA′，且分别交直线AB，AC于点E，F，求证：BE=CF=$\frac{1}{2}$（AB-AC）．

Answer 1

分析 过C点作AB的平行线交EF于G点，根据EF垂直于∠A的平分线，所以AE=AF，根据平行线的性质，求证△EDB≌△GCD，可得BE=CG，再利用CG∥AB，求证△CGF是等腰三角形，然后即可得出结论．

解答 解：过C点作AB的平行线交EF于G点，
∵EF⊥AA′，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
由CG∥AB，得∠B=∠MCG，
∵BM=MC，在△EMB与△GCM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBM=∠MCG}\\{BM=CM}\\{∠BME=∠CMG}\end{array}\right.$
∴△EMB≌△GCM，
∴BE=CG，
∵CG∥AB，
∴∠AEF=∠CGF，
∴∠CGF=∠AFE，
∴CG=CF，
∴BE=CF，
∵AB-AC=AE+BE-AF+CF=2BE，
∴BE=$\frac{1}{2}$（AB-AC），
∴BE=CF=$\frac{1}{2}$（AB-AC）．

点评 此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题综合性较强，关键是作好辅助线，此题属于中档题．