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已知抛物线y=x2+bx+c,经过点A(0,5)和点B(3,2)
(1)求抛物线的解析式:
(2)现有一半径为l,圆心P在抛物线上运动的动圆,问⊙P在运动过程中,是否存在⊙P与坐标轴相切的情况?若存在,请求出圆心P的坐标:若不存在,请说明理由.
分析:(1)利用待定系数法把已知坐标代入抛物线解析式即可;
(2)设点P坐标为(x0,y0),当⊙P在运动过程中,存在⊙P与坐标轴相切的情况(⊙P与y轴相切;⊙P与x轴相切).
解答:解:(1)由题意,得
c=5
3b+c+9=2

解得
b=-4
c=5

抛物线的解析式为y=x2-4x+5;

(2)当⊙P在运动过程中,存在⊙P与坐标轴相切的情况.
设点P坐标为(x0,y0),则
当⊙P与y轴相切时,有|x0|=1,x0=±1
由x0=-1,得y0=1+4×1+5=10,
∴P1(-1,10),
由x0=1,得y0=1-4×1+5=2,
∴P2(1,2),
当⊙P与x轴相切时有|y0|=1
∵抛物线开口向上,且顶点在x轴的上方,
∴y0=1
由y0=1,得x02-4x0+5=1,
解得x0=2,
则P3的坐标是(2,1)
综上所述,符合要求的圆心P有三个,其坐标分别为:P1(-1,10),P2(1,2),P3(2,1).
点评:本题综合考查的是直线与圆的知识以及二次函数的相关知识点,难度较大.
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